📝 题目大意

给定两个整数 $a, b$（$a \leq b$），判断连续整数乘积 $\prod_{i=a}^{b} i$ 的符号：正数输出 Positive，负数输出 Negative，零输出 Zero。

💡 解题思路

1. 题目分析：数据范围 $[-10^9, 10^9]$，直接计算乘积显然会溢出。本题本质是符号判定问题，只需分析区间 $[a, b]$ 内整数的符号分布，无需真正计算乘积。
2. 算法推导：
   • 情况一：$a > 0$。区间内所有整数均为正数，乘积必为正，直接输出 Positive。
   • 情况二：$a \leq 0 \leq b$。区间包含 $0$，任何数与 $0$ 相乘结果为 $0$，输出 Zero。
   • 情况三：$a < 0$ 且 $b < 0$。区间内所有整数均为负数，乘积的符号取决于负数因子的个数 $cnt = b - a + 1$：
     • 若 $cnt$ 为奇数，奇数个负数相乘结果为负，输出 Negative。
     • 若 $cnt$ 为偶数，偶数个负数相乘结果为正，输出 Positive。
3. 边界与细节：
   • 注意 $a$ 可能等于 $0$，此时落入情况二，输出 Zero。
   • 判断顺序不能颠倒：必须先判断 $a > 0$，再判断区间是否包含 $0$，最后处理全负区间。若先判断全负再判断含 $0$，会导致 $a = -1, b = 0$ 这类数据出错。
   • 变量 id = m - n + 1 可能达到 $2 \times 10^9$，在 int 范围内（约 $2.1 \times 10^9$），不会溢出。

⏱️ 复杂度分析

• 时间复杂度：仅需若干次常数时间的比较和算术运算，$O(1)$。
• 空间复杂度：仅使用几个整数变量，$O(1)$。

💻 标准代码 (C++)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    int n, m; scanf("%d%d", &n, &m);  // n = a, m = b
    // 情况一：区间全为正数
    if (n > 0) { puts("Positive"); return 0; }
    // 情况二：区间包含 0
    else if (n <= 0 && m >= 0) { puts("Zero"); return 0; }
    // 情况三：区间全为负数，计算负数个数
    int id = m - n + 1;  // 区间内整数的个数
    // 奇数个负数相乘为负，偶数个为正
    if (n < 0 && m < 0 && id % 2) { puts("Negative"); return 0; }
    else puts("Positive");
    return 0;
}