📝 题目大意

给定三个整数 $A_1, A_2, A_3$，每次操作可以选择任意一个元素加 $1$。求最少操作次数，使得三者构成等差数列，即 $A_2 - A_1 = A_3 - A_2$。

💡 解题思路

1. 题目分析：数据范围 $1 \leq A_i \leq 10^{15}$，需要开 long long。只能增加元素，不能减少，这意味着我们只能通过"向上调整"来让两个差值相等。

2. 算法推导： 令 $d_1 = A_2 - A_1$，$d_2 = A_3 - A_2$。目标：使 $d_1 = d_2$。

   分析三种操作对差值的影响：

   • 对 $A_1$ 加 $1$：$d_1$ 减少 $1$，$d_2$ 不变。
   • 对 $A_2$ 加 $1$：$d_1$ 增加 $1$，$d_2$ 减少 $1$（一箭双雕）。
   • 对 $A_3$ 加 $1$：$d_2$ 增加 $1$，$d_1$ 不变。

   核心策略分三步：

   • 第一步（缩小差距）：若 $d_2 > d_1$，反复操作 $A_2$ 可以同时让 $d_1$ 增加、$d_2$ 减少，每次操作代价 $1$ 却能让差距 $|d_2 - d_1|$ 缩小 $2$。因此最多可以做 $\lfloor (d_2 - d_1) / 2 \rfloor$ 次，此时若差距为偶数则已平衡，若为奇数则 $d_2 = d_1 + 1$。
   • 第二步（奇数修正）：若差距为奇数，再做一次 $A_2$ 操作，$d_1$ 和 $d_2$ 的大小关系互换，变为 $d_1 = d_2 + 1$（即 $d_1 > d_2$）。
   • 第三步（单向追赶）：此时 $d_1 \geq d_2$。若 $d_1 > d_2$，只能通过操作 $A_1$（让 $d_1$ 减少）或 $A_3$（让 $d_2$ 增加）来消除剩余差距，每次操作代价 $1$、差距减少 $1$，共需 $d_1 - d_2$ 次。

   等价地，设 $x_2$ 为操作 $A_2$ 的次数，$x_1, x_3$ 为操作 $A_1, A_3$ 的次数，可推导出总操作次数 $= d_1 - d_2 + 3x_2$。由于 $d_1 - d_2$ 固定，只需最小化 $x_2$，约束为 $x_2 \geq \lceil (d_2 - d_1) / 2 \rceil$（当 $d_2 > d_1$ 时），否则 $x_2 = 0$。代入即可得到与上述三步一致的闭式解。

3. 边界与细节：

   • 差值可能为负数（如 $A_2 < A_1$），代码中变量 a、b 存储的就是 $d_1$、$d_2$，直接参与运算，无需特殊处理。
   • 最终答案可能达到 $10^{15}$ 级别，必须使用 long long（64 位整数）。
   • 当 $d_1 = d_2$ 时，答案直接为 $0$，三步策略均不触发，max(a-b, 0) 返回 $0$。

⏱️ 复杂度分析

• 时间复杂度：$O(1)$，仅涉及常数次算术运算和条件判断。
• 空间复杂度：$O(1)$，只使用了几个 long long 变量，无额外数组或递归。

💻 标准代码 (C++)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
    long long a, b, c, ans = 0;   // a,b,c 对应 A1,A2,A3，ans 为答案
    cin >> a >> b >> c;
    a = b - a;                    // a 变为 d1 = A2 - A1
    b = c - b;                    // b 变为 d2 = A3 - A2
    if (b > a) {                  // 若 d2 > d1
        long long d = (b - a) / 2;// 计算可做的 A2++ 次数（整数除法向下取整）
        ans += d;                 // 累加操作次数
        a += d;                   // d1 增加 d
        b -= d;                   // d2 减少 d
    }
    if (b > a) {                  // 差距为奇数，仍差 1
        b--;                      // 再做一次 A2++：d2 减 1
        a++;                      //              d1 加 1
        ans++;                    // 操作次数 +1
    }
    ans += max(a - b, 0ll);       // 若 d1 > d2，通过 A1++ 或 A3++ 补齐差距
    cout << ans << endl;
}