📝 题目大意

给定 $L, R$，求满足 $L \leq A, B, C \leq R$ 且 $A - B = C$ 的整数三元组 $(A, B, C)$ 的个数。共 $T$ 组询问。

💡 解题思路

1. 题目分析：$C$ 由 $A, B$ 唯一确定（$C = A - B$），因此问题转化为求满足 $L \leq A, B \leq R$ 且 $L \leq A - B \leq R$ 的二元组 $(A, B)$ 数量。数据范围 $R \leq 10^6$，$T \leq 2 \times 10^4$，每组询问需要 $O(1)$ 回答。

2. 算法推导：

   • 由 $A - B = C$ 且 $C \in [L, R]$，得约束 $L \leq A - B \leq R$。
   • 等价于 $B + L \leq A \leq B + R$。
   • 结合 $A \in [L, R]$，固定 $B$ 时 $A$ 的取值范围为 $[\max(L, B+L),\ \min(R, B+R)]$。
   • 由于 $B \geq L$，有 $B+L \geq 2L \geq L$（$L \geq 0$），故 $\max(L, B+L) = B+L$。
   • 由于 $B \leq R$，有 $B+R \geq R$，故 $\min(R, B+R) = R$。
   • 因此固定 $B$ 时，$A \in [B+L,\ R]$，合法 $A$ 的个数为 $\max(0,\ R - (B+L) + 1) = \max(0,\ R - B - L + 1)$。
   • 要求区间非空即 $B+L \leq R$，也就是 $B \leq R - L$。同时 $B \geq L$，所以 $B$ 的取值范围为 $[L,\ R-L]$。
   • 该区间非空的条件是 $L \leq R - L$，即 $2L \leq R$。若 $2L > R$，答案为 $0$（不存在满足条件的 $C$，因为 $A-B$ 最大为 $R-L$，而 $C$ 至少为 $L$，需要 $R-L \geq L$）。
   • 当 $2L \leq R$ 时，令 $k = R - 2L + 1$。枚举 $B$ 从 $L$ 到 $R-L$，令 $i = B - L$（$i$ 从 $0$ 到 $R-2L$），此时合法 $A$ 个数为 $R - (L+i) - L + 1 = k - i$。
   • 求和得：$$\sum_{i=0}^{R-2L} (k - i) = k + (k-1) + \cdots + 1 = \frac{k(k+1)}{2}$$
   • 代入 $k = R - 2L + 1$，得最终公式：$$\text{ans} = \frac{(R - 2L + 1)(R - 2L + 2)}{2}$$

3. 边界与细节：

   • $L = 0$ 的情况：公式仍然适用。例如 $L=0, R=0$，$2L=0 \leq R$，$k = 0-0+1 = 1$，$\text{ans}=1 \times 2 / 2 = 1$，对应 $(0,0,0)$。
   • $2L = R$ 的情况：$k = 2L - 2L + 1 = 1$，$\text{ans}=1$，仅有一种情况（$A=R, B=L, C=L$）。
   • $2L > R$ 的情况：if 条件不成立，ans 保持为 $0$，直接输出。
   • 溢出：$R \leq 10^6$，$k \leq 10^6+1$，$k(k+1)/2 \approx 5 \times 10^{11}$，在 long long 范围内，但需注意使用 long long 类型。

⏱️ 复杂度分析

• 时间复杂度：每组数据 $O(1)$ 计算，总复杂度 $O(T)$。
• 空间复杂度：仅使用常数个变量，$O(1)$。

💻 标准代码 (C++)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
int main() {
    int tt;
    cin >> tt;
    while(tt--){
        ll l, r;
        cin >> l >> r;
        ll ans = 0;
        // 当 2L <= R 时才有解，否则 ans = 0
        if(r >= 2 * l)
            // k = R - 2L + 1, ans = k * (k + 1) / 2
            ans = (r - 2 * l + 1) * (r - 2 * l + 2) / 2;
        cout << ans << '\n';
    }
    return 0;
}