📝 题目大意

给定两个整数 $S$ 和 $P$（$1 \leq S, P \leq 10^{12}$），判断是否存在一对正整数 $(N, M)$，使得 $N + M = S$ 且 $N \times M = P$。

💡 解题思路

1. 题目分析：问题等价于：是否存在两个正整数，它们的和为 $S$，积为 $P$。从代数角度看，$N$ 和 $M$ 是方程 $x^2 - Sx + P = 0$ 的两根，但这道题不需要解二次方程，直接利用因式分解关系即可。

2. 算法推导：

   • 若存在满足条件的 $(N, M)$，则 $N$ 和 $M$ 必然是 $P$ 的两个因子（因为 $N \times M = P$）。
   • 因此，只需枚举 $P$ 的所有因子。设 $i$ 为 $P$ 的一个因子，则另一个因子为 $j = P / i$。检查 $i + j = S$ 是否成立即可。
   • 枚举时只需遍历 $i$ 从 $1$ 到 $\sqrt{P}$（因为因子成对出现，$i \times j = P$ 意味着 $i \leq \sqrt{P}$ 或 $j \leq \sqrt{P}$）。对于每个 $i$，若 $P \bmod i = 0$，则检查 $i + P/i$ 是否等于 $S$。
   • 该做法与 std.cpp 完全一致：用 s 存储 $S$，用 d 存储 $P$，循环 for(int i=1;i*i<=d;i++) 枚举因子，判断 i + d/i == s。

3. 边界与细节：

   • 数据类型：$S, P$ 最大可达 $10^{12}$，i + d/i 的结果也在 long long 范围内，但使用 32 位 int 会溢出。std.cpp 使用 #define int long long 将 int 提升为 64 位，避免溢出。
   • 循环上限：$\sqrt{10^{12}} = 10^6$，循环次数最多 $10^6$，完全在时限内。
   • 正整数约束：$i$ 从 $1$ 开始枚举，$P/i$ 也是正整数，自然满足 $N, M$ 为正整数的要求。
   • 特殊数据：当 $S = 2, P = 1$ 时，$i=1$，$1+1/1=2=S$，输出 Yes（$N=M=1$）。当 $S = 1, P = 1$ 时，$1+1=2 \neq 1$，输出 No。

⏱️ 复杂度分析

• 时间复杂度：$O(\sqrt{P})$。枚举 $1$ 到 $\sqrt{P}$ 的所有整数，每次检查 $P \bmod i$ 和加法均为 $O(1)$。最坏情况下 $P = 10^{12}$，约 $10^6$ 次迭代，完全可行。
• 空间复杂度：$O(1)$。仅使用常数个变量 $s, d, i$，无需额外数组。

💻 标准代码 (C++)

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long   // 将 int 提升为 long long，防止 10^12 范围内溢出
using namespace std;
int s, d, T = 1;       // s 对应 S，d 对应 P，T 为测试用例数（固定为 1）
signed main() {
    while (T--) {
        cin >> s >> d;
        // 枚举 P 的所有因子，只需遍历到 sqrt(P)
        for (int i = 1; i * i <= d; i++) {
            if (d % i == 0) {               // i 是 d 的一个因子
                if (i + d / i == s) {       // 检查因子对之和是否等于 S
                    cout << "Yes";
                    return 0;
                }
            }
        }
        cout << "No";
    }
    return 0;
}