📝 题目大意

给定三个正整数 $A, B, C$，求 $\sum_{a=1}^{A}\sum_{b=1}^{B}\sum_{c=1}^{C} abc$ 对 $998244353$ 取模的结果。

💡 解题思路

1. 题目分析：三重求和中的每一项是 $abc$，而 $a, b, c$ 各自独立遍历 $[1, A]$、$[1, B]$、$[1, C]$。由于三个求和变量互不依赖，三重求和可以因式分解为三个独立求和式的乘积。数据范围 $A, B, C \leq 10^9$，直接三层循环不可行，必须用数学公式 $O(1)$ 计算。

2. 算法推导：

   • 朴素想法是三重循环，但 $10^9$ 级别必然超时。
   • 观察求和式：$$\sum_{a=1}^{A}\sum_{b=1}^{B}\sum_{c=1}^{C} abc = \left(\sum_{a=1}^{A} a\right) \cdot \left(\sum_{b=1}^{B} b\right) \cdot \left(\sum_{c=1}^{C} c\right)$$这是因为 $abc$ 中 $a$ 只与 $A$ 有关、$b$ 只与 $B$ 有关、$c$ 只与 $C$ 有关，三者可以独立求和再相乘。
   • 每个单变量求和是等差数列求和：$\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$。
   • 因此答案为：$$\frac{A(A+1)}{2} \cdot \frac{B(B+1)}{2} \cdot \frac{C(C+1)}{2} \pmod{998244353}$$
   • 代码实现：先分别计算 $S_A = \frac{A(A+1)}{2} \bmod M$、$S_B = \frac{B(B+1)}{2} \bmod M$、$S_C = \frac{C(C+1)}{2} \bmod M$，再将三者相乘取模。由于 $n(n+1)$ 必为偶数，整数除法 $\frac{n(n+1)}{2}$ 在 long long 下不会丢失精度，取模后再乘也不会溢出。

3. 边界与细节：

   • $A, B, C$ 最大可达 $10^9$，$n(n+1)$ 约为 $10^{18}$，在 long long（$2^{63} \approx 9.2 \times 10^{18}$）范围内，不会溢出；但若用 int 会溢出，务必使用 long long。
   • 模数 $998244353$ 不是常规的 $10^9+7$，注意不要写错。
   • 三项相乘时 $(a \times b \bmod M) \times c \bmod M$ 每步都要取模，避免中间值溢出 long long（$M^3 \approx 10^{27}$，远超 long long 范围）。
   • 当 $A, B, C$ 中任意一个为 $0$ 时（虽然题目说是正整数，但严谨起见），$S = 0$，最终答案为 $0$。

⏱️ 复杂度分析

• 时间复杂度：$O(1)$。仅进行三次等差数列求和与三次模乘运算，与输入规模无关。
• 空间复杂度：$O(1)$。仅使用常数个变量 a, b, c 和常量 mod，无额外数组或递归。

💻 标准代码 (C++)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long a, b, c;                     // 使用 long long 防止溢出
const int mod = 998244353;             // 题目指定的模数，注意不是 1e9+7

int main() {
    cin >> a >> b >> c;
    // 计算等差数列和 S_A = A*(A+1)/2，并取模
    // 注意：1ll 强制转为 long long 防止溢出；n*(n+1) 必为偶数，整除安全
    a = (1ll + a) * a / 2 % mod;
    b = (b + 1ll) * b / 2 % mod;
    c = (c + 1ll) * c / 2 % mod;
    // 三重求和因式分解为三个独立和的乘积，每步取模防止溢出
    cout << ((a * b % mod) * c) % mod;
    return 0;
}