📝 题目大意

从原点 $(0,0)$ 出发，依次经过给定的 $N$ 个点，最后返回原点，求总欧几里得距离（代价）。允许 $10^{-6}$ 的误差。

💡 解题思路

1. 题目分析：题目本质是求 $N+1$ 段欧几里得距离之和——从原点出发到第 1 个点，依次到第 $N$ 个点，最后从第 $N$ 个点返回原点。数据范围 $N \leq 2\times 10^5$，坐标 $|X_i|,|Y_i| \leq 10^9$，直接计算即可。

2. 算法推导：设 $x[0]=0, y[0]=0$ 表示原点。依次读入 $N$ 个点存入 $x[1..N], y[1..N]$。由于全局数组 $x[N+1]$ 和 $y[N+1]$ 默认初始化为 $0$，恰好对应返回原点。遍历 $i$ 从 $1$ 到 $N+1$，每次累加 $\sqrt{(x_i - x_{i-1})^2 + (y_i - y_{i-1})^2}$ 即可。使用 double 类型存储距离，sqrt 和 pow 计算平方与开方。

3. 边界与细节：

   • 坐标范围：$|X_i|,|Y_i| \leq 10^9$，平方后可达 $10^{18}$ 量级，double（约 15 位有效数字）足以精确表示，不会溢出。
   • $N=0$ 的情况：题目保证 $N \geq 1$，无需处理。
   • 精度要求：输出时保留 20 位小数（printf("%.20lf", ans)），确保误差在 $10^{-6}$ 以内。
   • 隐式边界：x[0] 和 y[0] 作为全局数组自动初始化为 $0$，x[N+1] 和 y[N+1] 同理，巧妙避开了对原点出发和返回的特殊处理。

⏱️ 复杂度分析

• 时间复杂度：遍历 $N+1$ 段路径，每次计算一个平方和开根号，$O(N)$。
• 空间复杂度：仅存储 $x$ 和 $y$ 两个长度为 $200005$ 的数组，$O(N)$。

💻 标准代码 (C++)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n, x[200005], y[200005];  // x[0] 和 y[0] 自动初始化为 0，表示原点
double ans;

int main () {
    scanf("%d", &n);
    // 读入 N 个点的坐标，下标从 1 开始
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d%d", &x[i], &y[i]);
    // 从原点到第 1 个点，依次到第 N 个点，最后回到原点 (x[N+1]=y[N+1]=0)
    for (int i = 1; i <= n + 1; i++) {
        ans += sqrt(1.0 * pow(x[i] - x[i - 1], 2) + 1.0 * pow(y[i] - y[i - 1], 2));
    }
    printf("%.20lf", ans);  // 输出 20 位小数，满足精度要求
    return 0;
}