📝 题目大意

给定两个轴对齐长方体（所有面平行于坐标平面），分别由对角顶点 $(a,b,c)(d,e,f)$ 和 $(g,h,i)(j,k,l)$ 定义。判断两个长方体的交集体积是否为正。

💡 解题思路

1. 题目分析：两个长方体都是轴对齐的（Axis-Aligned Bounding Box），且输入保证 $a<d,\ b<e,\ c<f$ 以及 $g<j,\ h<k,\ i<l$，即给出的两个顶点分别是最小角点和最大角点。因此每个长方体在三个坐标轴上的投影就是一个区间，问题的核心转化为判断两个区间在三个轴上的交集是否都有正长度。

2. 算法推导：

   • 两个长方体相交当且仅当它们在 $x$、$y$、$z$ 三个轴上的投影区间都相交。
   • 对于两个区间 $[a,d]$ 和 $[g,j]$，它们的交集是 $[\max(a,g),\ \min(d,j)]$。交集长度大于 $0$ 的条件是 $\max(a,g) < \min(d,j)$（取 < 而非 <= 是因为仅接触、体积为 $0$ 不算正体积）。
   • 同理，对 $y$ 轴计算 $\max(b,h)$ 与 $\min(e,k)$，对 $z$ 轴计算 $\max(c,i)$ 与 $\min(f,l)$。
   • 当三个轴上的交集长度都大于 $0$ 时，交集体积 $(\min(d,j)-\max(a,g)) \times (\min(e,k)-\max(b,h)) \times (\min(f,l)-\max(c,i))$ 才为正，输出 Yes；否则输出 No。

3. 边界与细节：

   • 关键坑点：判断条件必须是严格 < 而非 <=。样例 2 中两个长方体在 $z$ 方向端面接触（$z$ 区间分别是 $[0,2]$ 和 $[2,4]$），$\max(0,2)=2,\ \min(2,4)=2$，交集长度 $0$，应输出 No。若误用 <= 会输出 Yes。
   • 数据范围 $0 \leq a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l \leq 1000$，坐标值很小，int 足够，不会溢出。
   • 输入保证 $a<d$ 等，无需自行排序顶点。

⏱️ 复杂度分析

• 时间复杂度：仅需计算三个 $\max$ 和三个 $\min$，以及三次比较，共 $O(1)$ 的常数时间。
• 空间复杂度：仅使用了 12 个 int 变量存储坐标和 6 个临时变量，空间复杂度 $O(1)$。

💻 标准代码 (C++)

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

int main() {
    int a, b, c, d, e, f;
    int g, h, i, j, k, l;

    cin >> a >> b >> c >> d >> e >> f;
    cin >> g >> h >> i >> j >> k >> l;

    // 交集在 x 轴上的区间
    int x1 = max(a, g);  // 左端点取两区间左端点的较大者
    int x2 = min(d, j);  // 右端点取两区间右端点的较小者
    
    // 交集在 y 轴上的区间
    int y1 = max(b, h);
    int y2 = min(e, k);
    
    // 交集在 z 轴上的区间
    int z1 = max(c, i);
    int z2 = min(f, l);

    // 检查三个轴上的交集长度是否都大于 0（严格小于，不能等于）
    if (x1 < x2 && y1 < y2 && z1 < z2) {
        cout << "Yes" << endl;
    } else {
        cout << "No" << endl;
    }

    return 0;
}